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Il paradosso dei gemelli – di @Ulrich

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Introduzione

Dal Dizionario delle Scienze Fisiche Treccani (1996):

Paradosso: Enunciato contrario all’opinione comune ovvero apparentemente contraddittorio; anche, dimostrazione che, partendo da ipotesi assunte o ritenute valide e procedendo con apparente rigore logico, giunge a una conclusione in contraddizione con i fatti o con altri enunciati meglio fondati o, semplicemente, con il senso comune; la dimostrazione della falsità di un paradosso riguarda o l’inconsistenza di una o più delle ipotesi o qualche vizio logico nascosto del procedimento o, infine, la non attendibilità del senso comune in certi ambiti.

Ciò stabilito, in questo breve articolo cercherò:
1. di spiegare il vero motivo per cui il paradosso dei gemelli sembra un paradosso (ma non lo è);
2. di tratteggiare in maniera divulgativa il modo corretto di risolvere il problema;
3. di sfatare il mito secondo il quale per risolvere il paradosso dei gemelli è necessario ricorrere alla Relatività Generale.

Prima di tutto occorre spiegare i termini della questione, anche se suppongo siano ben noti. La situazione è questa. Ciccio e Palla sono due gemelli. Palla diventa astronauta e all’età di 20 anni si imbarca su un’astronave di nuova concezione, battente bandiera liberiana, che solca i silenzi del cosmo a una velocità molto prossima a quella della luce. Ciccio, rimasto sulla Terra, aspetta paziente, per 20 anni, il ritorno del gemello. Quando questi finalmente rientra, corre felice ad abbracciare Ciccio, volendogli raccontare dei bastioni di Orione in fiamme. L’incontro tra i due è traumatico: Ciccio ha 40 anni, e li dimostra tutti (complice una vita sregolata). Palla ne dimostra al massimo 21. Una serie di accuratissimi test biometrici certificano che Palla non solo dimostra 21 anni: ne ha proprio 21. A questo punto Ciccio si incazza duro e pensa: “ma perché non sono partito anch’io?”

La sostanza del paradosso
Ho discusso di questo argomento con parecchie persone, alcune delle quali laureate in fisica. Per tutti, indistintamente, il cuore del paradosso è questo: che i due gemelli, dopo 20 anni, abbiano età diverse; il primo (quello rimasto a Terra) 40 e il secondo (quello in viaggio) 21. Come è possibile, se sono gemelli? In realtà, per chiunque mastichi un minimo di relatività, questo non è un paradosso, perché fin dal 1905 sappiamo che il tempo non è assoluto, ma dipende dal moto relativo dei sistemi di riferimento (su questo tornerò ampiamente dopo). Dunque qui non c’è nessun paradosso, o almeno, c’è solo per chi si ostina a pensare che il tempo è assoluto, ossia che l’orologio di Palla, che viaggia nello spazio a velocità inconcepibili, batta i secondi con la stessa frequenza dell’orologio di Ciccio, rimasto a Terra. Come vedremo meglio in seguito, questo non è vero. Dov’è quindi il paradosso? Nel fatto che lo stato di moto è relativo. Ciccio, rimasto a Terra, potrebbe pensare: “ma nel sistema di riferimento di Palla lui è fermo e io mi muovo a velocità stratosferiche rispetto a lui. Perché dovrebbe essere lui, il bastardo, a rimanere giovane? Dovrei essere io!”. Ecco, questo è il vero paradosso, che nasce dalla relatività del moto.

A scanso di equivoci dirò due parole sulla relatività del moto. Facciamo conto che io, Ulrich, sia in piedi sulla banchina di una stazione ferroviaria, e che veda sfrecciare un treno verso nord alla velocità di 100 km/h. Dunque nel mio sistema di riferimento io sono fermo, il treno si muove a 100 km/h (verso nord). Il fatto è che mia sorella gemella, Agathe (ammiccamento letterario), è sul treno. Nel suo sistema di riferimento lei è ferma, e vede me sfrecciare verso sud a 100 km/h. (Domanda cattiva: se invece di nord/sud avessi usato destra/sinistra sarebbe stata la stessa cosa?)

Dunque se il moto è relativo non c’è nessun motivo per cui Palla dovrebbe tornare dal viaggio più giovane di Ciccio, perché nel sistema di riferimento di Palla il più giovane dovrebbe risultare Ciccio, quindi pari e patta. Di qui il paradosso, che però andremo presto a risolvere.

Ho dato per scontato cosa sia un “sistema di riferimento”, ma per amor di precisione lo definisco qui: una terna di assi cartesiani (coordinate x, y, z) più un orologio.

Tutto è relativo
Le parole: che inganno. La relatività ristretta avrebbe dovuto chiamarsi “Assolutezza Ristretta”, e ci saremmo risparmiati un sacco e una sporta di bla-bla post-moderni e/o in generale “filosofici” sul relativismo. Dico questo perché i postulati base della relatività (oh, ormai tocca chiamarla così) sono due:
1. le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
2. la velocità della luce è costante, indipendentemente dallo stato di moto della sorgente e/o dell’osservatore.

Fino al punto 1 c’era arrivato anche il buon vecchio Galileo, qualche anno prima di Albert. Lascio la parola al toscano, gradissimo prosatore, uno dei più grandi di tutti i tempi (dal Dialogo sopra i due massimi sistemi):

Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benchè niun dubbio ci sia che mentre il vasello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma.

Il ragionamento soggiacente è chiaro: se siete chiusi nella stiva della nave, e la nave si muove dritta, in maniera uniforme, senza oscillazioni (situazione ideale: GedankenExperiment), non potrete fare nulla (nessun esperimento) per capire se la nave si sta muovendo o no (siete chiusi nella stiva, non potete sentire il vento né osservare la costa che sfila velocemente davanti ai vostri occhi, a poche centinaia di metri di distanza). Insomma, il moto è relativo, le leggi della fisica sono le stesse in ogni sistema di riferimento inerziale. Ci sarebbe da definire per bene “sistema inerziale”, ma è una roba estremamente complicata, anche se non sembra. Me la cavo così: assumendo che io sia in un sistema di riferimento inerziale (definizione circolare), tutti i sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto a me sono sistemi inerziali. Il punto chiave è questo: il primo postulato della relatività ristretta l’ha scritto Galileo Galilei. Un ultimo appunto per considerare meglio la relatività del moto: la terra trottola su sé stessa, gira intorno al sole, il sole gira intorno al centro della Galassia, la Galassia viaggia verso altre galassie… In questo esatto momento ci stiamo muovendo, tutti noi, a velocità folli (rispetto a cosa?). Eppure siamo ben sicuri di essere fermi (non dopo troppi single malt, chiaro).

Ma cosa vuol dire, concretamente, che le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali? Torniamo sulla banchina della stazione. Io, Ulrich, fermo in piedi, guardo passare un treno molto speciale: è di purissimo cristallo, completamente trasparente, in modo tale che io possa vederne distintamente l’interno. Io sono in un sistema inerziale, il treno viaggia a velocità costante su binari perfettamente dritti, quindi anche il sistema di riferimento del treno è inerziale. Agathe, proprio quando mi passa davanti, lascia cadere una pallina da tennis che ha in mano. Osserviamo la scena nel suo sistema di riferimento: la pallina cade dritta, verticalmente, ai suoi piedi. Ora osserviamo la scena dal mio punto di vista: nel mio sistema di riferimento la pallina ha una componente orizzontale di velocità pari a 100 km/h. Quando Agathe la lascia cadere, acquista un’accelerazione pari a g verso terra. La composizione dei due moti fa sì che io osservi la pallina compiere una perfetta parabola (sto trascurando la resistenza dell’aria). Come si concilia la retta verticale vista da Agathe con la parabola vista da Ulrich? Vediamo due fisiche diverse?

No. Il fatto è che per passare da un sistema di riferimento all’altro dobbiamo operare una trasformazione di coordinate, le celeberrime trasformazioni galileiane. Fatta questa semplice trasformazione, sulla quale non vi sto a tediare più che tanto, tutto torna. La pallina da tennis, vista nelle coordinate di Agathe, segue una retta verticale; se trasformo nelle mie coordinate ottengo la perfetta parabola che osservo. Ma… C’è un ma.

Il mistero del tempo
Come scrivevo sopra, dare un sistema di riferimento (o di coordinate) significa specificare l’origine (nello spazio) di una terna di assi cartesiani (x, y, z) più un orologio (t, il tempo). Or bene, in una trasformazione galileiana (x, y, z) si trasformano in (x’, y’, z’), e t resta t. Ciò ha come conseguenza che la regola di composizione delle velocità è una banale somma (vettoriale). Mi spiego (spero) meglio col solito esempio del treno, ma stavolta chiederemo ad Agathe di fare la stuntwoman. Agathe esce dal finestrino e si arrampica fino a raggiungere la sommità del vagone. Arriva in cima al treno, nonostante il vento le scompigli i meravigliosi capelli rossi. Lì trova un cannone, e mentre il treno corre (passando davanti a me) spara una bordata micidiale: una palla di cannone eiettata orizzontalmente alla velocità di 500 km/h, nella stesso verso di corsa del treno. Tralasciando i possibili danni che la palla può arrecare ai binari, questo è ciò che osserva Agathe: una sfera di piombo che si muove, rispetto a lei, alla velocità di 500 km/h. Ma io, dalla banchina della stazione, vedo un oggetto di piombo che si muove a 600 km/h: alla velocità della palla di cannone devo sommare quella del treno. Le velocità si sommano, io e Agathe rimaniamo d’accordo, dopo la trasformazione galileiana, che le leggi della fisica rimangono le stesse. Questo è un punto chiave: la regola di somma delle velocità è una conseguenza del fatto che il tempo è assoluto, ossia non cambia passando da un sistema inerziale all’altro. L’orologio di Ciccio, a Terra, batte il tempo allo stesso modo dell’orologio di Palla, a spasso nello spazio. Il moto è relativo, Palla si muove rispetto a Ciccio, Ciccio si muove rispetto a Palla: il tempo è lo stesso. In un mondo galileiano Palla, dopo 20 anni, torna a terra e ha 40 anni, esattamente come Ciccio. Nessun paradosso, nessun insulto al senso comune. Ma è ormai tempo di tornare al ma, ossia al secondo postulato della relatività.

Lo ripeto: la velocità della luce è costante, indipendentemente dallo stato di moto della sorgente e/o dell’osservatore. Dunque, chiediamo l’ennesima impresa alla povera Agathe, che si è già strafritta le gonadi. Il treno su cui ora viaggia ha del fantascientifico: invece di andare a 100 km/h va a 100 km/s. Sarebbe una pacchia, Milano-Roma me la faccio nel tempo di uno sbadiglio. Invece di sparare con un antidiluviano cannone, le lasceremo premere il grilletto di una moderna pistola laser. Il raggio mortale viaggia dritto davanti a lei, alla velocità di 300000 km/s (approssimo per semplificare). Almeno, lei misura la velocità della luce e trova 300000 km/s. Il problema è che la velocità di quella luce la misuro anche io. Mi aspetto, da buon galileiano, 300100 km/s. Guardo i dati e… Ops, Houston, abbiamo un problema: ho misurato 300000 km/s, esattamente come Agathe. Le velocità non si sono sommate. (In buona sostanza questo è il risultato dell’esperimento di Michelson-Morley: il secondo postulato in realtà ha una solidissima base empirica). Nel frattempo Houston risponde: cretino, chi ti ha detto che le velocità si devono per forza sommare? Si devono comporre. La legge di composizione diventa somma solo se assumi che il tempo sia assoluto. Quindi dài un’occhiata al tempo e non scassare i maroni.

Da tutto questo si dovrebbe imparare che un sistema di riferimento inerziale è dato da una quaterna (x, y, z, t), e se passo a un altro sistema di riferimento inerziale ottengo (x’, y’, z’, t’). Il tempo non è più il tempo assoluto: ogni sistema di riferimento inerziale si porta appresso il suo particolare orologio, e uno dei risultati di tutto questo è che le velocità non si sommano, ma si compongono con una particolare regola che fa sì che la velocità limite sia c, la velocità della luce. Non si può andare oltre. Non ve la sto a menare perché mi è stato imposto di scrivere il minor numero possibile di formule, apprezzerete il fatto che finora non ne ho scritta manco una (forse dopo mi servirà metterle, non so). Dico solo il nome delle trasformazioni corrette: si chiamano trasformazioni di Lorentz.

Eh, ma allora qui torna il paradosso. Gli orologi di Ciccio (a Terra) e Palla (in giro per lo spazio) battono il tempo in modo diverso. Il moto è relativo (postulato 1), la velocità della luce è costante (postulato 2), Palla torna a Terra dopo 20 anni (20 anni di Ciccio) e per lui è passato solo un anno. Ciccio si incazza appellandosi al postulato 1, “Palla è fermo, io mi muovo rispetto a lui, il moto è relativo! Sono io che (singhiozzando e spargendo muco) ho 21 anni… (sigh, sob)”. Ciccio ha torto. Di ciò abbiamo schiaccianti evidenze sperimentali.

Riassunto
Facciamo il punto della situazione: ogni sistema di riferimento inerziale si porta appresso un orologio (in realtà ogni sistema di riferimento, ma non andiamo sul difficile). Il tempo non è assoluto, dipende dal sistema di riferimento. E il moto è relativo. (Qui al proposito ci sarebbe un nanetto carino, non so se raccontarlo perché non so se è vero. Però mi è stato riferito da persona di cui non oso mettere in dubbio la parola. Vabe’, lo racconto. B. Touschek è stato un grande fisico austriaco, che ha lavorato per molti anni ai laboratori di Frascati. Ha inventato gli acceleratori di particelle così come li conosciamo oggi. È in sostanza il nonno di LHC. Pare amasse il bianco dei Castelli al punto tale che una sera, tornando in macchina verso i laboratori con qualche litro di troppo in corpo, si schiantò contro un albero. Dopo, cercò di spiegare alla polizia che nel suo sistema di riferimento lui e la macchina stavano fermi, ma l’albero, cattivo, gli si era avventato contro a grande velocità e non aveva fatto in tempo a schivarlo). Ok, fine riassunto. Però avevo annunciato la storia dei muoni, per cominciare a spiegare perché Ciccio ha torto, quindi eccola di seguito.

Forever young
Il mu è il fratello ciccione dell’elettrone. Tecnicamente è un leptone, con carica elettrica uguale a quella dell’elettrone e massa circa 200 volte quella del fratellino. Non è facile trovarlo in giro a lungo, perché decade in circa 2 milionesimi di secondo. Però se fate l’esperimento giusto trovate un fottio di mu nei raggi cosmici. Allora, con calma. I raggi cosmici sono particelle elementari estremamente energetiche (gamma, elettroni, positoni, protoni, antiprotoni e chi più ne ha più ne metta) scagliate per ogni dove dalle profonde oscurità dello spazio. Viaggiando verso la Terra si scontrano con gli strati alti dell’atmosfera, generando un casino di interazioni. Alla fine il prodotto di tutto questo autoscontro sono un sacco di mu, che scendono verso Terra a una velocità prossima a quella della luce. E qui c’è il problema. Ammettendo che viaggino alla velocità della luce (è un limite superiore, ma una buona approssimazione) e considerando il loro tempo di decadimento, dovrebbero poter percorrere meno di un kilometro prima di decadere (per la precisione, se non ho fatto male i conti, un po’ meno di 700 metri). Insomma, non farebbero in tempo a raggiungere il suolo, svanirebbero prima in una nuvola di elettroni, neutrini e antineutrini. E invece i rivelatori li rivelano. Come fanno ad arrivare a livello del mare? Chi li spinge? Chi li paga? La spiegazione è relativistica: secondo l’orologio del loro sistema di riferimento, quello nel quale sono “fermi”, i mu vivono comunque 2 milionesimi e spicci di secondi. Nel nostro sistema di riferimento i mu si muovono quasi alla velocità della luce, e il loro tempo di vita, dal nostro punto di vista, si amplifica di parecchio (si chiama “dilatazione dei tempi”); talmente tanto che riescono a vivere così a lungo e viaggiare così in largo da essere catturati dai rivelatori posti al livello del mare. Perché ho raccontato questa storiella? Per dire che la “dilatazione dei tempi” non è una teoria strampalata partorita da una mente malata ma un solido fatto sperimentale. (Apro una parentesi per raccontare un altro nanetto. Recentemente abbiamo organizzato la “notte dei ricercatori”. Tra le varie cose esposte al pubblico, un rivelatore di raggi cosmici. Una roba alta circa un paio di metri, tre piani di rivelatori, e ogni volta che passava un mu faceva “bip” e si accendeva una lucetta rossa. Fate conto tipo 4-5 bip e lucette al secondo, non era un granché come rivelatore, ne passano molti di più. Arriva una coppietta di adolescenti, chiedono, si spiega loro. Si allontanano spaventati, perché “lì” passano i raggi cosmici. Dico: “guardate che i raggi cosmici passano lì come ovunque”. Sono fuggiti). Esistono moltissime altre prove; mi limito a questa. Se non ci credete buttate pure il vostro navigatore satellitare (funziona grazie a Relatività Ristretta + Relatività Generale) e affidatevi al vostro naturale senso dell’orientamento: poi se vi ritrovate a Comacchio invece che a casa dei vostri amici non prendetevela con la fisica.

A questo punto spero sia chiara la storia dei mu. Se io nel mio laboratorio creo un mu (Ciccio) circa a riposo nel mio sistema di riferimento e nello stesso istante un mu scende dagli strati alti dell’atmosfera a velocità relativistiche (Palla), vedo Ciccio decadere in 2.2 milionesimi di secondo mentre Palla vive sufficientemente a lungo (qualche spiccio di millesimo di secondo: il conto a spanne è facile, 1oo km diviso 300000 km/s) per arrivare a Terra. Ecco i gemelli diversi.

Il paradosso
L’esempio dei mu spiega a sufficienza il fatto che ogni sistema di riferimento si porta appresso un orologio, ma non spiega il paradosso che nasce dalla relatività del moto. Ciccio è ancora incazzato perché continua a pensare che nel sistema di riferimento in cui Palla è fermo lui stesso (Ciccio) si muove a grandissima velocità, quindi è lui stesso (Ciccio) a dover rimanere giovane rispetto a Palla. Per confutare Ciccio occorre introdurre il concetto di “tempo proprio”. Non è così complicato: il tempo proprio di un sistema di riferimento è il tempo misurato dall’orologio che il sistema di riferimento stesso si porta appresso. Ma occorre dire anche un’altra cosa. Poiché ho promesso di non menarvela con le formule dovete fidarvi. Se non vi fidate studiate un qualsiasi manuale di relatività. Insomma, la cosa di cui dovete fidarvi è questa: il tempo proprio è massimo se il sistema di riferimento è inerziale. Ciccio comincia a guardarmi spaventato: “Ma io non sono inerziale! Ruoto con la Terra su sé stessa, intorno al Sole, il Sole gira intorno alla Galassia…”. Fidati, Ciccio: il tuo sistema di riferimento è abbastanza inerziale. Ma quello di Palla? Guardiamo un momento: per andare in giro nell’universo e tornare indietro, deve per forza stare in un sistema molto meno inerziale di quello di Ciccio. Prendiamo un caso semplice: Palla parte dalla Terra, va su Alpha Centauri e torna indietro. Ora: prima di tutto deve accelerare per raggiungere velocità prossima a c (sistema non inerziale). Poi deve decelerare per non schiantarsi su Alpha Centauri (sistema non inerziale). Poi deve accelerare di nuovo per tornare verso Terra (sistema non inerziale). Poi deve decelerare per non schiantarsi a Terra (sistema non inerziale). Risultato netto: il tempo proprio di Palla è minore di quello di Ciccio, perché ha passato gran parte del suo tempo (pun intended) in un sistema non inerziale. Palla torna a Terra realmente più giovane di Ciccio. Il problema è che per lui è realmente passato un solo anno, quindi dal suo punto di vista non ha guadagnato nulla.

C’è bisogno della relatività generale?
No, basta il tempo proprio calcolato per sistemi non inerziali.

Immagine da Wikimedia.

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